Marzo

FUNCIONES ANALITICAS

f(Z) es analitica en Zo si solo si f es derivable para todo Z de algun disco D:|Z-Zo|< r

PROPIEDADES

1. Si f(Z)=u(x,y)+iv(x,y), analitica en algun dominio entonces u ^ v satisfacen las Ecuaciones de Cauchy- Rieman para todo (x,y) del dominio.

Ecuaciones de Cauchy-Riemann (ECR)

2. Si u(x,y)^ v(x,y) y sus primeras derivadas parciales son continuas y ademas cumplen las ECR, la funcion f(Z) es analitica.

3. Sea f(Z) analitica en un cierto dominio, entonces u^v son armonicas, es decir cumplen:

RESUMEN

FUNCIONES TRASCENDENTES

FUNCION EXPONENCIAL

FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

FUNCIONES HIPERBOLICAS

FUNCIONES LOGARITMICAS 

 

INTEGRACION EN EL PLANO COMPLEJO 

- Se aplican las reglas y propiedades de la integracion de funciones reales salvo el caso de funciones que son eminentemente complejas, tales como |Z|; Z conjugado, en las cuales se debe aplicar propiedades y teoremas especificas.

- En el caso de integrales indefinidas (antiderivadas ) de funciones analiticas se mantiene la analogia con las funciones reales: sin embargo se presentan ciertas diferencias debido a:

1. Los numeros reales se representan en el eje de las x y las integrales se entienden como una aproximacion de las sumas de Riemann.

 

2. Los numeros complejos se representan en el plano complejo lo cual nos lleva a considerar integrales de linea sobre una curva C sobre el plano complejo en lugar de la sumas de Riemann

3. En las integrales cerradas e presentan propiedades novedosas y que solo se cumplen para las funciones de variables compleja asi como por ejemplo. La integral de Cauchy.

INTEGRALES INDEFINIDAS

Sea F'(z)=f(z), entonces:

  

Siendo c Є C, constante de integración.

CURVAS EN EL PLANO

Una curva g en el plano C=R x R de puntos (x, y) tal que:

- Z(a)^Z(b) son los puntos extremos de la curva.
- Si Z(a)^Z(b) coinciden, se dice que la curva g es una curva cerrada.
- El sentido positivo de la curva g sera aquel en el que t aumenta.

Donde x y y son funciones continuas que depende de "t".

DEFINICIÓN:


Sea z una función continua tal que:

Es una curva, se dice que la curva es diferenciable si la derivada de z es diferente de 0 para todo t que pertenece al intervalo de:

INTEGRALES DE LINEA

 

 

 

PROPIEDADES

 

 

 Sean f(z) y g(z) funciones de variable compleja continuas a trozos sobre un contorno c descrito por la ecuacion z=z(t)()

 

 

INTEGRALES DE LINEA

 

 

 

 

 

 

 

 

QUIERES SABER MAS A CERCA DE INTEGRALES DE LINEA

 

 

 

CLIC AQUI INTEGRALES DE LINEA 

 INTEGRALES DE CAUCHY

Si f(z) es analítica en un dominio simplemente conexo D y su derivada es continua en D entonces para cualquier contorno cerrado simple contenido en D se tiene:

 

• El teorema sigue siendo válido cuando el contorno C no es simplemente conexo pero tiene un número finito de "agujeros".
• Sea C un contorno simple cerrado, y sean C_j (j=1, 2, ..., n) un número finito de contornos simples cerrados dentro de C, tales que las regiones interiores a cada C_j no tengan puntos en común. Sea R la región cerrada formada por todos los puntos dentro de C, salvo los puntos interiores a cada C_j. Denotamos por F toda la frontera orientada de R formada por C y todos los contornos C_j, recorridos en un sentido tal que los puntos interiores de R queden a la izquierda de F. Entonces, si f es analítica en todo R,

A raíz de este trabajo, actualmente el teorema es conocido como teorema integral de Cauchy-Goursat.

A partir del teorema de Cauchy-Goursat, se pueden demostrar proposiciones como la siguiente:
Sea ƒ(z) analítica sobre C, siendo C un contorno cerrado simple, y en el interior de C. Si se toma un punto interior "" de C, se cumple que:

 

Ejemplo sencillo