Abril

CRITERIOS DE CONVERGENCIA DE SERIES NUMERICAS

SUCESIONES Y SERIES DE VARIABLE COMPLEJA

• Las sucesiones y series de variable compleja son muy simetricas a las sucesiones y series de variable real

• La serie de laurent es la unica  que se aplica unicamente para variable compleja

SUCESIONES

Una sucesion compleja es una funcion de los naturales sobre los complejos

Ejemplo





PROPIEDADES



DECIMOS: Que una funcion converge cuando se a cerca a un valor finito

SERIES

Si sumamos los elementos de una sucesion, obtenemos una serie, que se la reperesenta por:

La convergencia de la serie compleja la determinamos por intermedio de las series reales que la conforman

PROPIEDADES

Sea {Zn}=Xn+iYn, entonces:

 

SERIES REALES

• CONVERGENTES

• DIVERGENTES

EJEMPLO DE APLICACION

SERIES ESPECIALES

1. SERIE GEOMETRICA

i) Es absolutamente convergente si |z|<1

ii) Es divergente si |z|>=1

2.SERIE ARMONICA

Es divergente

3. SERIE p



i) Es convergente si p>1
ii) Es divergente si p<=1

CRITERIOS DE CONVERGENCIA

• CRITERIO DE COMPARACION

• CRITERIO DE D'ALAMBER (CRITERIO DEL COCIENTE)

• CRITERIO DE CAUCHY (CRITERIO DE LA RAIZ)

EJEMPLO DE APLICACION

SERIES DE POTENCIAS




PROPIEDADES



EJEMPLO DE APLICACION

RADIO DE CONVERGENCIA

SERIES  DE TAYLOR

Una funcion analitica admite un desarrollo mediante una serie de Taylor compleja, similiar a la serie de funciones reales

PROPIEDAD

• Si f es analitica en Zo, entonces f tiene un desarrollo mediante una serie de taylor representada por.

• Si Zo=(0,0) entonces:

 

Serie de Maclaurin

EJEMPLO DE APLICACION

SERIE DE LAURENT

Si f(z) no es analitica en zo no admite desarrollo mediante una serie de Taylor, pero admite un desarrollo mediante la serie de Laurent

PROPIEDAD

Si f es analitica en el anillo r1<|z-zo|<r2 entonces para z en este anillo

EJEMPLO DE APLICACION

PUNTOS SINGULARES Y TEOREMA DEL RESIDUO

Los puntos singulares de una funcion de variable compleja f son aquellos puntos zo en los que f deja de ser analitica. Si existe algun disco reducido de centro Zo y radio r>0 que no encierre mas puntos singulares distintos de zo, se puede decir que es una singularidad aislada

EJEMPLOS






POLOS




PUNTOS DE RAMIFICACION




SINGULARIDAD REMOVIBLE




SINGULARIDAD ESENCIAL



SINGULARIDAD EN EL INFINITO



TEOREMA DEL RESIDUO



PROPOSICIONES

PROPOSICION 1



PROPOSICION 2



PROPOSICION 3







EJEMPLOS

APLICACIONES DEL TEOREMA DEL RESIDUO

INTEGRALES DE LA FORMA